Fiabilité des modèles mathématiques

Les modèles mathématiques sont de merveilleux outils pour analyser et simuler  les phénomènes mettant en jeu de très nombreux paramètres étroitement interconnectés.Toutefois ils ne sont fiables que pour les systèmes compliqués. Ils le sont beaucoup moins lorsqu’il s’agit de systèmes complexes.

Mais quelle différence faisons-nous ici entre un système compliqué et un système complexe.
Dans le premier exposé, nous avons défini ce que nous appelons dans ce site un système complexe. Dans les grandes lignes il est vu comme l’évolution temporelle de flux d’énergie, de matière et d’entropie régit par aucun déterminisme. Il évolue d’une manière quasi aléatoire vers toujours plus de complexité jusqu’à ce que les flux d’énergie et de matière deviennent minoritaires par rapport à celui de la création d’entropie (désordre). Si ce dernier croit rapidement alors le système s’effondre et retourne brutalement vers une forme de chaos. Un système complexe doit être vu comme « indétricotable », indémontable,  il ne peut retourner en arrière en suivant le chemin inverse, il est irréversible. L’Univers, la biosphère, un biotope, un climat, un organisme biologique sont tous, selon cette définition, des systèmes complexes.

Un système compliqué, tout comme un système complexe, est aussi constitué par un ensemble d’éléments, de structures, de liens, d’actions et de réactions mais l’évolution de ce système est régit par un déterminisme, par une intelligence logique, il suit un but relativement précis. Tous ses constituants sont connus, répertoriés, assemblés selon une logique documentée par des schémas, des plans, des calculs etc.. Si dans cette façon de voir les systèmes complexes correspondent à des systèmes naturels, les systèmes compliqués sont majoritairement des systèmes issus de l’intelligence humaine. Ils sont en général démontables, recyclables, parfaitement reproductibles, etc.. Les avions, les voitures, les ordinateurs, les centrales nucléaires, le système monétaire mondial, etc. sont des exemples de systèmes compliqués et non de systèmes complexes.

Notez bien que ces définitions n'ont pas un caractère absolu. Ce ne sont que des représentations de l’esprit pour pouvoir progresser dans les raisonnements faits dans ce site en s’appuyant sur des définitions qui évitent toutes ambiguïtés, même si ces dernières ne  sont pas universelles.

Nous avons dit plus haut que les simulations de systèmes complexes par des modèles mathématiques sont en général peu fiables. Ils le sont pour au moins deux raisons. 
 
La première est inhérente à la méthode scientifique consistant à séparer ce qui est uni dans la Nature. Pour des raisons méthodologiques de modélisation, un système complexe doit, par la pensée, être isolé des autres systèmes complexes sur lesquels il s'appuie, bien qu'ils  agissent sur lui directement ou indirectement selon des  phénomènes à nos yeux aléatoires et imprévisibles.

La deuxième est que dans un système complexe naturel, le nombre important d’arrangement et des combinaisons aléatoire de ses constituants rend bien difficile la compréhensions des relations entre cause et effet.
L'exemple le plus frappant concerne les modèles mathématiques sur l'évolution du climat. Il n'est pas possible d'introduire  l'ensemble des phénomènes susceptibles d'avoir une influence sur les variations climatiques.  En plus, un grand nombre de paramètres sont purement et simplement ignorés et quant aux autres, ils ne sont que suppositions et estimations parfois grossières  sur les mécanismes qui relient tout à tout. C'est là une des raisons pour laquelle les prédictions quantitatives de tels  modèles mathématiques doivent être prises avec circonspection. Par contre, ce que nous apprennent ces modèles sur l'influence relative et qualitative de tel ou tel paramètre est des plus intéressants.

Le fait que tout fluctue dans le temps et l'espace,  que cette variabilité dépend d'autres paramètres dont certains se trouvent à l'extérieur du modèle, donc mathématiquement ignorés, le fait qu'il est impossible de prévoir des contre-réactions ne se déclenchant qu'à partir d'un seuil inconnu, le fait que toute mesure soit entachée d'une certaine erreur due à la précision de l'instrument et des conditions de mesure, etc., etc., apportent des arguments supplémentaires pour limiter le crédit des prévisions  quantitatives des modèles numériques. L'incertitude sur leurs prévisions est d'autant plus grande que les prédictions concernent un avenir éloigné et/ou que le système modélisé ne soit pas en équilibre.

Un modèle capable de simuler correctement la variabilité dans le passé d'un paramètre n'est en aucun cas la preuve qu'il  soit capable de prédire correctement les variations futures. En effet, il est toujours possible de choisir pour chaque paramètre du modèle, une valeur qui soit à l'intérieur de sa marge d'incertitude, donc sans réelle falsification, afin de démontrer ce que l’on désire, ou que certains opportunistes  demandent de mettre particulièrement en relief.

De même, dans un monde où agissent d'innombrables paramètres interdépendants, la corrélation d'une seule grandeur physique avec une autre ne signifie pas obligatoirement que  l'une représente la cause et l'autre son effet et de là déterminer qui provoque quoi.

Ainsi un modèle mathématique donnera des résultats d'autant plus éloignés de la réalité que :
=> La fraction du nombre réel de paramètres et de rétroactions  entrant dans le modèle est petite
=> La marge d’incertitude sur ces paramètres est large et que les mécanismes de rétroactions sont complexes et mal connus.
=> Le nombre de paramètres ignorés, car extérieur au modèle, mais pouvant jouer un rôle dans le résultat final, est relativement élevé.
=> L’évolution dans le temps de la valeur des paramètres importants entrant dans le modèle est mal connue ou même oblige à des spéculations  hasardeuses.
=> Le système simulé est en déséquilibre.  

D'autre part, il arrive souvent que les mathématiques utilisées dans les modèles  s'appliquent à des lois de la physique correspondant à des conditions expérimentales de laboratoire bien précises mais ne pouvant être appliquées directement à l'objet modélisé. Par exemple, la théorie de la chute des corps ne s'applique formellement que si le corps est en chute libre dans le vide. Elle n'est plus applicable directement pour décrire  la chute de la feuille d'un arbre situé au sommet d'une colline. De même, nous sommes en droit de nous demander  si les lois de la physique des rayonnements régissant les échanges de chaleur dans une serre sont encore applicables aux échanges de chaleur dans  la biosphère. Dans le même ordre d'idée, pouvons-nous utiliser l'équation de Stefan-Bolzmann  pour calculer la quantité d'énergie irradiée par la Terre si sa température  moyenne en surface est connue? Que représente physiquement la température moyenne à la surface de la Terre? Voir discussion à ce sujet dans  le forum de l'ancien site ceremovi.org.

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